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• # Quantum Registers/量子レジスタ

Quantum Registers/量子レジスタ

## 量子状態空間

しかし、(n)個の量子ビットは重ね合わせの状態を取ることができるため、それらをうまく表現するためには(2^n)個のダイアルが必要になります。 同様に、「状態ベクトル」を使って任意の量子状態を表すには全体で、(2^n)のベクトル要素が必要となります。

[|000rangle = left( begin{array}{c} 1 0 0 0 0 0 0 0 end{array} right), |001rangle = left( begin{array}{c} 0 1 0 0 0 0 0 0 end{array} right), |010rangle = left( begin{array}{c} 0 0 1 0 0 0 0 0 end{array} right), mbox{ and } |111rangle = left( begin{array}{c} 0 0 0 0 0 0 0 1 end{array} right)]

[frac{1}{sqrt{2}}left( begin{array}{c} 1 0 0 0 0 0 0 1 end{array} right)]

これをブラーケット記法を使うと

[frac{vert000rangle + vert111rangle}{sqrt{2}}]

となり、非常に見やすくなります。実際には、必ずしも２つの状態が50/50で重ね合わせになっているとは限りません。その場合は、はじめと終わりだけが0以外となり、(vert000rangle)と(vert111rangle)の其々の確率振幅である αとβ を用いて、以下のように表すことができます。

[left( begin{array}{c} alpha 0 0 0 0 0 0 beta end{array} right) = alpha|000rangle + beta|111rangle]

こういった一連の状態空間を、ヒルベルト空間（数学者であるDavid Hilbertに由来します）と呼びます。 私達の日常生活では、２次元や３次元は馴染みがありますが、ヒルベルト空間は 2n次元です。 これは量子ビットが、SF映画に出てくるような、4次元やさらなる高次元にアクセスするということではなく、状態ベクトルで全ての量子状態を表すには、それ相応の要素数が必要になるということです。 例えば、３量子ビットでは８つの要素（あるいは８つのダイアル）、４量子ビットでは１６個の要素が必要になります。

このヒルベルト空間こそが、量子重ね合わせを利用できるするという点で、量子コンピュータの能力を示す最初の重要な要点であるのです。

## 正規化条件

１量子ビットでは、0状態と1状態の確率の和は１になることを見てきました。これは(P(vert0rangle) + P(vert1rangle) = 1)と書くことができます。

(P(vert000rangle) + P(vert001rangle) + P(vert010rangle) + P(vert011rangle)) (+ P(vert100rangle) + P(vert101rangle) + P(vert110rangle) + P(vert111rangle) = 1)

これは「正規化条件」として知られており、古典的な確率論と同様に、量子力学の世界でも同じ条件が成り立ちます。 唯一の違いは、量子の確率を得るためには確率振幅の絶対値の自乗を取らなければいけないという点です。 例えば、３つの量子ビットの状態が、

[alphavert000rangle + betavert001rangle + gammavert010rangle + deltavert011rangle + avert100rangle + bvert101rangle + cvert110rangle + dvert111rangle]

であったとき、000を観測する確率は、(vertalphavert^2)であり、001を観測する確率は(vertbetavert^2)、 010を観測する確率は(vertgammavert^2)等以下同様、となります。 従って、以下が成り立ちます。

[vertalphavert^2 + vertbetavert^2 + vertgammavert^2 + vertdeltavert^2 + |avert^2 + |bvert^2 + |cvert^2 + |dvert^2 = 1]

## 複数の量子ビットの測定

ところで、量子レジスタに格納されていた状態は測定後にはどうなるのでしょうか？ 基本的には、量子レジスタの中の量子ビットを全て測定した場合は格納されていた状態は完全に崩壊してしまいます。 しかし、仮に一部の量子ビットしか測定していなかった場合、部分的な状態の崩壊であるだけの可能性も十分にあります。 (frac{vert000rangle + vert011rangle + vert101rangle}{sqrt{3}}) という状態を考えてみましょう。もし、３つの量子ビット全てに測定を施した場合、1/3の確率で、000, 011, 101のどれかを得ることができます。  